多角形の性質:第5回 正多角形の1つの内角の大きさの2通りの求め方

正多角形の1つの内角の大きさの求め方を2通りご紹介します。
ひとつは内角の和の公式を使う方法、もうひとつは外角の和を使う方法です。

どちらの方法で解いても答えは変わらないのですが、正N角形のNの部分が大きくなると内角の和の公式を使う方法では途中の値が大きくなってしまい計算が面倒臭くなります。
その辺を踏まえて2つの方法を見ていきましょう。

正多角形の1つの内角の大きさを求めるために必要な知識

正多角形の1つの内角の大きさを求めるためには以下の2つうちのどちらかの知識が必要です。
多角形の内角の和の公式
多角形の外角の和

ご存じない方は上記リンクをクリックしてご覧下さい。

正多角形とは

ドク
今回は「正」多角形について見ていくぞぃ

さとし
「正」多角形?多角形とは違うの?

正多角形とは、辺の長さ・角度(内角も外角も)が全て等しい多角形のことです。

さとし
ほーほー

ドク
それでは問題じゃ

正多角形の1つの内角の求め方

問題を通して正多角形の1つの内角の求め方を学びましょう。

問題

正八角形の1つの内角の大きさを求めなさい。

回答

(8-2)×180÷8=135°
もしくは
180-360÷8=135°

解法1:内角の和の公式を使う方法

さとし
「正」八角形ってことは8個全部の内角が等しいんだね

ドク
そういうことじゃ

さとし
じゃあ内角の和の公式を使って

ドク
ふむふむ

さとし
正八角形だから8等分すればいいんだ

(8-2)×180=1080・・・正八角形の内角の和
1080÷8=135°・・・正八角形の1つの内角

さとし
ってなるね

ドク
正解じゃ

解法2:外角の和を使う方法

ドク
次は外角の和を使って答えを出してみるのじゃ

さとし
え、もう答え出たじゃん

ドク
いいからやってみるのじゃ

さとし
ほいほい。外角の和は360°だから

ドク
ふむふむ

さとし
「正」八角形だから、全部の外角が等しいと
360÷8=45°・・・正八角形の1つの外角
180-45=135°・・・正八角形の1つの内角

※外角から内角を求める方法は「外角とは?」をご覧ください。

さとし
って感じかな

ドク
おー正解じゃ

【参考】正N角形の「N」の値が大きい時の内角の大きさの求め方

正八角形であれば上記2つのどちらの方法で計算しても手間はほとん変わりません。
ですが、正百角形など値が大きくなったときはどうでしょうか?正百角形を例に2つの方法を比較してみましょう。

<内角の和の公式を使う方法>
(100-2)×180=17640°・・・正百角形の内角の和
17640÷100=176.4°・・・正百角形の1つの内角
<外角の和を使う方法>
360÷100=3.6°・・・正百角形の1つの外角
180-3.6=176.4°・・・正百角形の1つの内角

2つを比較してみていかがでしょうか。
正百角形の例では個人的には外角の和を使う方法の方が簡単です。
(100-2)×180はめんどくさいからです。

このように正N角形の「N」の値によっては外角の和を使って解いた方が楽になることがあることを覚えておきましょう。

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