多角形の性質:第4回 外角の和について。なぜ360°になるのか

中学受験算数の多角形の性質の問題を解説していきましょう。
多角形の性質の第4回目です。

今回は外角の和について見ていきます。外角自体の説明は外角とは?をご覧ください。

※解説の目次ページは「基礎問題解説一覧」をクリックしてください。「多角形の性質」の目次もそこにあります。

導入

ドク
今回は外角の和についてじゃ
さとし
また外角か。あれキライだよ
ドク
たしかに少し紛らわしいからのぉ

さとし
外角の和ってことは外角の合計を出すんだね
ドク
そういうことじゃ。では問題じゃ

問題

三角形の外角の和を求めなさい。

回答

360°(暗記)

解説

ドク
まずは「外角の和」というのがどの部分を示しているのかを見ていこうぞ

さとし
ほいよ

ドク
下の図の三角形ABCを使って説明していくぞぃ

外角1

ドク
「外角の和」というのは次の図の黄色の部分の合計じゃ

外角の和

さとし
角A・B・Cの外角の合計ってことだね

ドク
下の図でもよいぞ

外角の和
さとし
1つの角に対して外角は2つあるからだね

ドク
そうじゃ。よく覚えておるのぉ

さとし
外角とは?で習ったからね

外角の和とは、この例でいうと以下の3つを合計したものです。
・角Aの外角
・角Bの外角
・角Cの外角

これらはそれぞれ場所が2つずつありますが、角度自体は同じです。2重に足さないように気を付けましょう。

ドク
では問題に戻るぞい

さとし
ほいよ

ドク
外角の和はいくつじゃ?

さとし
う~ん

ドク
下の図の黄色い部分の合計は何度じゃ?

外角の和

さとし
直線が3本だから3×180=540°です

ドク
そこから下の図の青い部分を引くと

外角の和

さとし
青い部分は三角形の内角の和だから180°だね

ドク
そうじゃ

さとし
540-180=360。答えは360°だね

ドク
正解じゃ!

さとし
よくできました

ドク
さて、今回の問題は三角形じゃったの

さとし
そうだね

ドク
実は四角形でも五角形でも外角の和はみんな360°なんじゃ

さとし
なんだって!?

多角形の外角の和はなぜ360°なのか(証明)

ドク
今回の考え方をまとめると次の通りじゃ
<三角形の外角の和の求め方(まとめ)>
1.直線3本分の角度を求める
2.三角形の内角の和を求める
3.1で求めた角度から2で求めた角度を引く
さとし
そうだったね。それで?
ドク
これをN角形で置き換えてみると次の通りじゃ
<N角形の外角の和の求め方>
1.直線N本分の角度を求める
2.N角形の内角の和を求める
3.1で求めた角度から2で求めた角度を引く

さとし
そうなるね。それで?

ドク
これを式で表してあげる

<N角形の外角の和の求め方>
1.N×180
2.(N-2)×180
3.N×180ー(N-2)×180

よって、N角形の外角の和は
N×180ー(N-2)×180=N×180ーN×180+2×180=360°となる

さとし
となる、と言われても。チンプンカンプンだよ

ドク
じゃろうのぉ。ではこの2つを比べてみるのじゃ

1.N×180
2.(N-2)×180

さとし
ふむふむ

ドク
1番は180がN個、2番は180がN-2個と考えることができるのぉ

さとし
そうか。2番の方が180が2個少ないのか
ドク
そうじゃ。よって180が2個分で360°差があるということじゃ
さとし
だから360°になるんだね

ドク
そういうことじゃ

さとし
お疲れ様でございました

まとめ

N角形の外角の和は360°です。
理解するのが難しい場合でもひとまず丸暗記しましょう。

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