数の性質:第8回 公倍数・最小公倍数の簡単な求め方(3つ以上の数)

中学受験算数の数の性質の問題を解説していきましょう。
数の性質の第8回目です。

今回は3つ以上の数の公倍数の簡単な求め方について見ていきます。
このページでは3つ以上の数の公倍数・最小公倍数を取り扱っています。
2つの数については、前回の「2つの数の公倍数・最小公倍数」をご覧下さい。2つと3つ以上で解き方が変わるわけではないのですが、間違えやすいポイントなので併せてご利用下さい。

※ただ単に公倍数・最小公倍数がいくつになるかを知りたい方は「公倍数・最小公倍数の自動計算ツール」をご利用ください。

このページを理解するのに必要な知識

公倍数・最小公倍数の意味と求め方を学ぶ前に、まずは「倍数」の理解が必要不可欠です。
倍数についての基礎があやふやな場合は、まずは倍数の意味と求め方をご覧下さい。

倍数の意味にプラスして、公倍数・最小公倍数の意味と地道な求め方も身につけましょう。その方が公倍数・最小公倍数に対する理解が深まります。まだ身についていないという方は「公倍数・最小公倍数の意味と地道な求め方」をご覧下さい。

また、このページでは2つの数の公倍数・最小公倍数の簡単な求め方が理解できているという前提で説明をしています。2つの数の方もあやふやだという方「2つの数の公倍数・最小公倍数の簡単な求め方」をご覧下さい。

導入

ドク
今回は3つ以上の数の公倍数の簡単な求め方についてみていくぞ
さとし
3つ以上の数の公倍数って意味がよく分かんないよ
ドク
例えば10と15と20の公倍数を求めよ、とかって意味じゃ
さとし
そういうことか。でも3つ以上って、10個とか20個とかやっていくの?やだね
ドク
3つでも10個でも20個でも考え方・解き方は同じなのじゃ。じゃから3つの数の公倍数を勉強すればそれでいいのじゃ
さとし
ふーん。でも2つの数の時と3つの数の時で考え方とか解き方が違ってくるって変な気がするよ
ドク
なかなかいい疑問じゃ小坊主
さとし
小坊主はまるおだよ
ドク
実は数字が2つの時でも3つの時でも考え方・解き方は変わらんのじゃ
さとし
じゃあわざわざやる必要ないじゃん。さっさと遊ぼう
ドク
それがそうともいかんのじゃ
さとし
なんでさ?
ドク
問題を解いてみれば分かるわい。では問題じゃ

3つ以上の数の公倍数・最小公倍数の求め方

問題を通して3つ以上の数の公倍数・最小公倍数の求め方を身につけましょう。

問題

12と15と20の最小公倍数を求めなさい。
また、最小公倍数の次に大きい公倍数を求めなさい。

回答

) 12  15  20
)  6  15  10
)  2   5  10
)  2   1   2
    1   1   1

最小公倍数:2×3×5×2×1×1×1=60
最小公倍数の次に大きい公倍数:60×2=120

よくある間違い

さとし
別に前回やったとおりに解けばいいでしょ?
ドク
ほうほう
さとし
まずは最小公倍数だね。こうやって書いてあげて

最小公倍数

ドク
ふむふむ
さとし
12と15と20の共通の約数で割ってあげるんだ
ドク
ほうほう
さとし
・・・あれ、共通な約数ってないね
ドク
ないのぅ
さとし
でも1は絶対共通しているから図に書き込んでみると

最小公倍数

さとし
ってなるから、1×12×15×20=3600だ!
ドク
残念ながら違うのじゃ
さとし
なんでじゃよ!前回習ったとおりに解いたよ。共通の約数で割っていって、最後に全部かけるって
ドク
確かに前回教えた通りに解いておる
さとし
じゃあ教え方に問題があったんだね
ドク
それはちょっと語弊があるんじゃが、実は正確には教えていなかったんじゃ
さとし
正確に教えないなんて最低だね。親の顔が見てみたいよ
ドク
・・・
さとし
・・・

ドク
最初からあまり細かく教えても分かりづらいと思ったんじゃ
さとし
細かく?
ドク
そうじゃ。前回、約数で割っていくと教えたのぅ
さとし
そうだね
ドク
その約数というのは、全部の数の公約数ではなくて、どれか2つの公約数という意味なんじゃ

<注意しよう!>
3つ以上の数の最小公倍数を求める時は、全ての数の公約数でなくとも、どれか2つ以上の公約数であれば割っていきます。
さとし
???

正しい解き方

ドク
今回の問題は、12と15と20の最小公倍数を求めろという問題じゃろ
さとし
そうだね。それと、その次に大きい公倍数を出せってやつだね
ドク
で、さとし君はこういう図を書いていたのぅ

最小公倍数

さとし
前回そう習ったからね
ドク
うんうん。ここまではそれでいいのじゃ
さとし
そりゃそうでしょ。そう習ったんだもん
ドク
次に約数で割っていくのぅ
さとし
うん、12と15と20の公約数を考えたよ
ドク
実はその考えが違うのじゃ
さとし
なんとまぁ
ドク
もちろん3つ全ての公約数で割ってもいいのじゃが、実は3つ全ての公約数でなく、どれか2つの公約数で割ってもいいのじゃ
さとし
え、じゃあ例えば12と15の公約数で割ってもいいの?
ドク
そういうことじゃ
さとし
12と15の公約数は3だけど、20は3じゃ割り切れないよ
ドク
その時はこういう風にかいてあげるのじゃ

最小公倍数4

さとし
割れない数字はそのまま下に書いてあげるんだね
ドク
そうじゃそうじゃ
さとし
あ、次は5と20の公約数が5だから5で割れるのかな?
ドク
そうじゃええぞ。書いていってみぃ
さとし
こんな感じかな

最小公倍数

ドク
その通りじゃ
さとし
あ、まだ4で割れるね

最小公倍数

さとし
これで完成だね
ドク
いい感じじゃの
さとし
だから最小公倍数は3×5×4×1×1×1=60だね
ドク
正解じゃ
さとし
で、次に大きい公倍数は60×2=120だね
ドク
Bravo!

3つ以上の数の最大公約数

さとし
ところでさ、3つ以上の数の最大公約数を求める時はどうするの?最大公約数を求める時も今回と同じ図を書くじゃん
ドク
今回やったように、最小公倍数を求める時は、どれか2つの公約数で割ってあげればいいんじゃの
さとし
そうだね
ドク
最大公約数を求める時は、どれか2つではダメじゃ。全部の数字の公約数で割ってあげないといかん
さとし
ふーん、じゃあ前に教わった通りでいいんだね
ドク
そういうことじゃ

まとめ

3つ以上の数の最小公倍数を求める時は要注意です。
上記の解き方(割り算の逆みたいな形)において、どれか2つ以上の公約数があればそれで割っていきましょう。

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