数の性質:第5回 公約数・最大公約数の簡単な求め方

中学受験算数の数の性質の問題を解説していきましょう。
数の性質の第5回目です。

今回は公約数・最大公約数の簡単な求め方について見ていきます。
※ただ単に公約数・最大公約数がいくつになるかを知りたい方は「公約数・最大公約数の自動計算ツール」をご利用ください。

公約数・最大公約数を求めるために必要な知識

公約数・最大公約数の意味と求め方を学ぶ前に、まずは「約数」の理解が必要不可欠です。
約数についての基礎があやふやな場合は、まずは下記の記事をご覧下さい。

約数の意味にプラスして、公約数・最大公約数の意味と地道な求め方も身につけましょう。その方が公約数・最大公約数に対する理解が深まります。前回の記事に書いてますので、まだ身についていないという方は「公約数・最大公約数の意味と地道な求め方」をご覧下さい。

公約数・最大公約数の簡単な求め方

問題を通して公約数・最大公約数の簡単な求め方を身につけましょう。

問題

168と192の公約数を全て求めなさい。
また最大公約数を答えなさい。

回答

)168 192
) 84  96
) 21  24
    7   8

最大公約数:2×4×3=24

24=1×24
  =2×12
  =3×8
  =4×6

公約数:1,2,3,4,6,8,12,24

解説

前回の公約数・最大公約数の意味と地道な求め方では、最初に公約数を出してその後に最大公約数を求めました。

しかし今回は、先に最大公約数を求めて、その後に公約数を求めるという順番になります。

まずは最大公約数を求める

さとし
地道に解くとめんどくさそうだよね。どうやるの?
ドク
まずはこういう風に書くのじゃ

公約数

さとし
割り算の逆みたいな形だね
「割り算の逆みたいな形」で計算する方法を「連除法」もしくは「すだれ算」と言います。
ドク
そして全ての数の公約数で割っていくんじゃ
さとし
全ての数の公約数?
ドク
今回で言うと168と192の公約数のことじゃ
さとし
ほぉほぉ
ドク
例えば2を使うとこうじゃな

公約数

さとし
約数を左側に書くんだね。それで割った結果を下に書くんだ?
ドク
そういうことじゃ
さとし
約数だったら2じゃなくてもいいの?例えば4とか8でも
ドク
そうじゃ何でもええぞい

「1」以外の公約数であれば何でも構いません。ただ、大きい数で割った方が書く量が少なく済み速く解けます。
ドク
じゃあ次に4で割ってみるぞい

公約数

ドク
この作業を公約数がなくなるまで続けていくんじゃ
さとし
1も公約数だよね?だったら1って書いていけば一生終わんないね
ドク
それは言いっこないじゃ。さて、できたぞい

公約数

さとし
ふーん、で、これがどうかしたの?
ドク
こいつを使ってまずは最大公約数を求めるのじゃ
さとし
公約数が出てないのにいきなり最大公約数が出るの?
ドク
そうなんじゃ
さとし
どうやるの?
ドク
下の図の赤で囲まれた数字に注目じゃ

公約数

さとし
ほいほい
ドク
こいつを全部かけてやると最大公約数になるのじゃ
さとし
じゃあ2×4×3=24が最大公約数ってこと?
ドク
そういうことじゃ

最大公約数から公約数を求める

さとし
最大公約数は出たけど、公約数も出さなくちゃいけないんだよね?
ドク
そうじゃ。公約数は最大公約数を使って出してあげるのじゃ
さとし
え、最大公約数から公約数が出るの?前回と逆のパターンだね
ドク
そうじゃな。実は公約数というのは、最大公約数の約数なのじゃ

<暗記しよう>
公約数は、最大公約数の約数

さとし
え、最大公約数の約数?僕は今混乱しています
ドク
今回の問題、168と192の最大公約数は24じゃの?
さとし
そうですね
ドク
じゃから168と192の公約数は24の約数になるということなんじゃ
さとし
ふ〜ん、じゃあ
24=1×24
  =2×12
  =3×8
  =4×6
だから、168と192の公約数は1、2、3、4、6、8、12、24になるってこと?
ドク
そういうことなんじゃ
さとし
ふーん。確かに、168と192の約数全部出して比べるよりは楽かも
ドク
そうじゃろそうじゃろ
さとし
でもさ、なんでこのやり方で最大公約数とか公約数が出るの?
ドク
それはじゃな
さとし
それは
ドク
・・・
さとし
・・・
ドク
しのごの言わず覚えればいいのじゃ!

※このサイトは基礎に重点をおいて算数の解説をしています。今回の解法の理屈は難しい為、基礎段階では理解するのに時間がかかります。それに加え、理解できなくても基礎段階の問題を解くのに影響はありません。勉強の効率を考え、ムリに理解するよりまずは丸暗記しましょう。(いつかその内、理屈も書くつもりです)

さとし
・・・いつものドクじゃない
ドク
これは今の段階では理解するのは難しいんじゃ
さとし
ほうほう
ドク
じゃがこれを使わないとテストでは時間が足りなくなってしまうのじゃ
さとし
ほいほい
ドク
じゃから、理屈は抜きにして覚える。使えるようにする。今回は特別じゃ
さとし
ほいほーい

まとめ

上記の解き方(割り算の逆みたいな形)を使うと最大公約数が簡単に出せる。
公約数は最大公約数の約数である。

ドク
次回は公倍数について見ていきます

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コメント

  1. さくさくパンダ より:

    すごくタメになりました!
    ありがとうございます。(*⁰▿⁰*)

  2. 管理者 より:

    コメントありがとうございます。
    記事を書く励みになります!

  3. たくっち より:

    ありがと