過不足算・差集め算:第1回 過不足算・差集め算の基本的な考え方・解き方

中学受験算数の過不足算・差集め算の問題をわかりやすく解説していきましょう。今回は過不足算・差集め算の基本的な解き方・考え方です。それでは問題を見ていきましょう。

※他の過不足算の問題&解説は過不足算のまとめページをご覧下さい。

余り&ピッタリの問題

何人かの子供にアメを配ります。1人6個ずつ配るとちょうど配ることができ、1人4個ずつ配ると12個余ります。子供は全部で何人いますか?

線分図を使う解き方、式で解く解き方の2通りの解き方を見ていきましょう。

線分図を使う解き方

まずは線分図を使った解き方です。

さとし
どうやるの?
ドク
まずは線分図を描いて比較してみるんじゃ
さとし
比較?
ドク
そうじゃ。6個ずつ配ったときと4個ずつ配ったときの比較じゃ

さとし
6個ずつ配ってくれたときの方がうれしいよ
ドク
・・・

さとし
4個ずつだったら、何で余らせてるの?ケチなの?って思っちゃうよ

さとし
以上、比較しました

ドク
そうではなく、線分図で比較するんじゃ

さとし
何を比較するのさ?

ドク
6個ずつ配ったときと4個ずつ配ったときでは何が違うんじゃ?

さとし
もちろん、子供の気持ちだよ

ドク
そうじゃ。配った数の合計が違うんじゃ

さとし
もうちょっと構って欲しいよ

ドク
では、配ったアメの合計をそれぞれ線分図で表すんじゃ

さとし
でも、子供が何人いるか分かんないよ。だから無理。不可

ドク
そういうときはどうすればいいんじゃ?

さとし
ふむ。□とか➀を使えばいいんじゃな

ドク
そうじゃ。ここでは➀を使って表してみようぞ

さとし
こんな感じかな

過不足算

子供の人数を➀人としています。
上側の線分図は➀×6=➅個、下側の線分図は➀×4=➃個です。

子供の人数を□人とする場合は、上側の線分図は□×6個、下側の線分図は□×4個です。

ドク
さて、➅個というのは何じゃ?

さとし
6個ずつ配ったときの、配ったアメの合計個数だよ

ドク
確かにその通りじゃ

さとし
でしょ♪

ドク
じゃが違う言葉で表現すると何じゃ?

さとし
ちょっと何言ってるか分からない

ドク
➅個というのは、全てのアメの個数じゃ

さとし
全てのアメの個数?

ドク
全部で➅個アメを用意していたということじゃ

さとし
まぁ、6個ずつの時はちょうど配れたんだからそうだね
過不足算の問題では、全ての個数を基準に考えます。上の問題ではそれほど意識する必要もありませんが、ピッタリしたものがない問題はそれを意識しないと線分図を描くのは難しいです。ここでしっかりと意識しておきましょう。

ドク
さて、配った個数は何個違うんじゃ?

さとし
片方はちょうど配れて

ドク
ふむ

さとし
もう片方は12個余ったから、違いは12個だね

ドク
そうじゃ。線分図に描き込んでみるのじゃ

さとし
こうだね

過不足算2

ドク
そうじゃ。そうじゃ

さとし
ということで、➁=12だから、子供は6人だね。

式で解く方法

人数を➀人とします。ここまでは一緒です。
6個ずつ配った場合は➀×6=➅個
4個ずつ配った場合は➀×4=➃個です。

配った個数は12個違うので➅-➃=12より
➀=6と出ます。

まぁ、全部線分図の解き方と同じですね。。。

余り&余りの問題

何人かの子供にアメを配ります。1人5個ずつ配ると3個余り、1人3個ずつ配ると23個余ります。子供は全部で何人いますか?

ここでも、線分図を使う解き方、式で解く解き方の2通りの解き方を見ていきましょう。

線分図を使う解き方1

まずは線分図を使った解き方パート1です。

ドク
さっきと同じようにまずは線分図を描いてみるのじゃ
さとし
ふむ。こんな感じかな?

過不足算3

ドク
そうじゃ。さて、5個ずつ配った場合と3個ずつ配った場合で、配ったアメの数は何個違うのかの?
さとし
3個余ったのと、23個余ったのでしょ。3+23=26個違うよ
ドク
ほっほっほ、違います

さとし
ムカつくね
ドク
配った個数の違いは23-3=20個です

さとし
なぜでしょう?
ドク
まずは線分図に描き込んで、答えを出してしまいましょう

さとし
こうだね

過不足算4

さとし
という訳で➀=10人だから、子供は10人いるんだね
ドク
そういうことじゃ

線分図を使う解き方2

次は、少しだけ線分図の描き方を変更します。

ドク
今度は、配った個数ではなく全てのアメの個数を2通りの方法で表してみるんじゃ
さとし
???

ドク
1人に5個ずつ配って3個余ったということは
さとし
ということは?

ドク
➄個配ってもまだ3個あるということじゃから
さとし
じゃから?

ドク
全てのアメの個数は➄個よりも3個多いということじゃ
さとし
ふむ

ドク
同じく、3個ずつ配って23個余ったということは
さとし
全てのアメの個数は➂個よりも23個多いということだね

ドク
これを線分図にするとこうなるぞぃ

過不足算5

さとし
あとは線分図をただ解けばいいだけだね
ドク
そうじゃ。差の部分に注目すると、➁=20じゃから答えがでるんじゃ

どちらの線分図の方がよいか?

・配った個数を表す線分図
・全体の個数を表す線分図

をご紹介しました。

それぞれの特徴は以下の通りです。
・配った個数を表す線分図
 →配った個数の差が分かりづらい時は描きづらい。個数の差以外の部分はまぁまぁ描きやすい。

・全体の個数を表す線分図
 →配った個数の差は考える必要がないが、線分図そのものが描きづらい。

こう書くと「配った個数を表す線分図」の方が描きやすそうに感じますが、個人的には「全体の個数を表す線分図」の方が好きです。というのは、問題が難しくなればなるほど配った個数の差を考えるのは難しくなるからです。もちろん好みもあるでしょうが。

ということで、残りは「全体の個数を表す線分図」を使って解説していきます。その前に式で解く方法ですね。

式で解く方法

人数を➀人とします。ここまでは一緒です。
5個ずつ配った場合は➀×5=➄なので➄+3個が全体です。
3個ずつ配った場合は➀×3=➂なので➂+23個が全体です。

よって➄+3=➂+23より、➀=10と出ます。
最後の式を解くのは難しいと思いますが、割合・比の分野全般に出てきますので、練習しましょう。

余り&不足の問題

何人かの子供にアメを配ります。1人6個ずつ配ると8個不足し、1人4個ずつ配ると20個余ります。子供は全部で何人いますか?

ここでも、線分図を使う解き方、式で解く解き方の2通りの解き方を見ていきましょう。

線分図を使う解き方

まずは線分図を使った解き方です。

さとし
ややこしくなったね

ドク
とりあえず思った通りに描いてみるのじゃ

さとし
こんな感じかな?

過不足算6

ドク
ほっほっほ、予想通りじゃ

さとし
合ってる?

ドク
全然違います

さとし
性格悪いね

ドク
まずはこんな風に描いてみましょう

過不足算8

さとし
それで?
ドク
まずは6個ずつ配る方から考えようぞ

さとし
ふむ
ドク
6個ずつ配るのに必要な個数と、全体の個数、どっちが多いんじゃ?

さとし
なかなか難しいことを聞くね
ドク
6個ずつ配ると足りない、といっておる

さとし
配れないってことだね

ドク
そうじゃ。つまり実際にある個数より多く配ろうとしたのじゃ

さとし
ふむふむ

ドク
線分図にすると次のように描くことができるぞぃ

➅個は配ろうとした個数です。用意しているアメの個数より8個多く配ろうとしているという状況です。

さとし
ふむ。ムズイね

ドク
では、4個ずつ配る方を描いてみるのじゃ

さとし
今度は余ったんだよね

ドク
そうじゃ。用意した全てのアメを配ったわけではないんじゃ

さとし
用意したより、少ない量を配ったんだよね。じゃあこうだ

過不足算10

ドク
素晴らしい!

さとし
あとは、差の部分に注目して➁=28だから、14人だ

ドク
よくできました

式で解く方法

人数を➀人とします。ここまでは一緒です。
6個ずつ配った場合は➀×6=➅なので➅-8個が全体です。
4個ずつ配った場合は➀×4=➃なので➃+20個が全体です。

よって➅-8=➃+20より、➀=14と出ます。

まとめ

それぞれの問題について、線分図と式の両方の解き方を解説してきました。ではどっちがよい解き方でしょうか?
よい解き方とは難しい初見の問題にも対応できる解き方だと思います。「両方余る」だったら引いて、「余る不足する」だったら足して差を出す、というものではありません。

それぞれの特徴ですが、
・式
 →式にするのがそもそも難しい。
・線分図
 →線分図にするのがそもそも難しい。

過不足算を習い始めの頃は、どちらも難しくとっつきづらいと思います。しかし、式の方は単なる➀の練習で、線分図の方は全体より多いか少ないかをしっかり考えれば済む話です。要は慣れですので、どちらもできなくてはなりません

今後、入試問題を解いていくと
・線分図では表しづらいが、式なら立てやすい
・式を立てても解けないが、線分図を使うと分かりやすくなる
という問題が出てきます。

ですので、どちらも問題なく使えるようにすることが大切です。どちらも問題なく使えるのであれば普段は使いたい方を使いましょう。

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