約数の簡単な求め方を学ぼう　素因数分解についても

中学受験算数の数の性質第２回です。中学受験だけでなく中学の学習にも役立ちます。

今回は約数の簡単な求め方についてです。（約数ってそもそも何？という方は約数や素数とは？をご覧下さい。）素因数分解を使う方法や素因数分解すら使いづらい時の約数の出し方についても見ていきます。

※ただ単に約数がいくつになるか知りたいという方は約数の自動計算ツールをご利用ください。

概要

1 約数の簡単な求め方を身につけよう
2 素因数分解を使って求める
3 素因数分解でも出しづらいときは？
4 まとめ

約数の簡単な求め方を身につけよう

問題を通して約数の簡単な求め方を学びましょう。

問題

１００の約数を全て求めなさい。

回答

１００＝１×１００
　　　＝２×５０
　　　＝４×２５
　　　＝５×２０
　　　＝１０×１０

よって答えは１，２，４，５，１０，２０，２５，５０，１００。

解説

さとし

１００÷１～１００÷１００まで１００回計算するの？

ドク

それでもいいんじゃがのぉ

１００回計算して地道に求めることもできます。詳しくは約数の意味と地道な求め方をご覧ください。

さとし

でもめんどいね

ドク

そうじゃ。簡単な約数の求め方があるのじゃ

さとし

ほぉほぉ

ドク

実はこの問題は１００÷１～１００÷１０までの１０回の計算で済むんじゃ

地道に求めると計算回数が１００回、下記の求め方をすると計算回数が１０回になります。

さとし

それは助かるね。どうやるの？

ドク

基本的な解き方は前回と一緒じゃ。
１００÷１＝１００あまり０
１００÷２＝５０あまり０
と１から順に割っていくんじゃ

さとし

それは前回と一緒だね

ドク

違うのは「商」を使うということじゃ

さとし

商を使う？

ドク

そうじゃ。こんな風に書いていくんじゃ

約数

さとし

１００をかけ算で表してあげてるんだね

ドク

そういうことじゃ

さとし

でも、これで何が簡単になるの？

ドク

とりあえず続きを書いていってみぃ

さとし

１００÷３＝３３あまり１・・・あまりが出たやつはどうするの？

ドク

割り切れない数字は書き込まんのじゃ。書くのはあくまで約数だけじゃ

約数だけをかけ算で表していきましょう。

さとし

ほうほう。１００÷４＝２５あまり０で・・・

ドク

うんうん

さとし

・・・

ドク

・・・

さとし

・・・

ドク

・・・

さとし

・・・１００÷１００＝１あまり０と、できた！

約数

さとし

結局１００÷１～１００÷１００までしました

ドク

・・・１００÷１０まででよかったんじゃ

さとし

えっ！？

ドク

・・・

さとし

おかげで腱鞘炎になったよ

ドク

・・・ごめんなさい

さとし

でもなんで１００÷１０まででいいの？

ドク

今書いたものをよく見てみるのじゃ。「１０×１０」の上と下を見てみるのじゃ

約数

さとし

あ、同じ数字だ！

ドク

じゃろ。じゃから１０×１０まででいいのじゃ

さとし

じゃあこういうことだね

約数

ドク

そういうことじゃ

さとし

じゃあ答えは１，２，４，５，１０，２０，２５，５０，１００ってことだね

ドク

その通りじゃ

どこまで書くのか？

さとし

でもさぁ、どこで止めたらいいか分かんないよ。１００÷１０まででやめていいってどうやって判断すればいいの？

ドク

それは一番下の「×」の右側の数字に注目するんじゃ。下の図の赤い部分じゃ

約数

さとし

？？？

ドク

×の左側にはその数字より大きい数字はこないんじゃ

さとし

今回だと１０より大きい数字はこないってこと？

ドク

そうじゃ。さっきさとし君は２０とか２５っていう数字が×の左側にきてたの？

さとし

うん、あれ結局書いた意味がなかったよね

ドク

そういうことなんじゃ。既に１０×１０の上に書かれていたからのぅ

さとし

じゃあこんな感じだったらさ

約数

さとし

一番下の「×」の右側２０に注目してさ

ドク

そうじゃそうじゃ

さとし

この時点では左側には２０より大きい数字が来ないってことが分かるってことでいいの？

ドク

その通りじゃ

さとし

めんどくさいね

ドク

理屈を説明するとめんどくさく感じるかもしれんが、練習すればすぐに慣れてくるわい

さとし

そういうもんかな

ドク

そういうもんじゃ

素因数分解を使って求める

１００や２００くらいであれば上記の方法が一番よいでしょう。しかし、例えば「５９５」という数字であればどうでしょう？同じようにやっていきましょう。

５９５＝１×５９５
　　　＝５×１１９
　　　＝７×８５
　　　＝１７×３５

５９５の約数は１，５，７，１７，３５，８５，１１９，５９５

７で割り切れるというのは、そこまで苦労なくできるかもしれませんが１７で割り切れることを見つけるのはなかなか面倒です。そこで利用したいのが素因数分解です。素因数分解というのは、数を素数の掛け算で表すということです。例えば「５９５」は「５×７×１７」となります。どのように出したかは次の通りです。

５）５９５
７）１１９
　　１７

やっていることは素数でどんどん割っていくということです。

まず、５９５は一の位が５なので５で割り切れます（詳しくは倍数の判定法をご覧下さい）。５９５÷５＝１１９なので、次に１１９を割り切れる素数を見つけます。７で割り切れると分かります（倍数の判定法を考えれば偶数・３と５の倍数は外れるのですぐ見つかります）

１１９÷７＝１７となり、これは素数です（少なくとも３０くらいまでは、数字を見ただけで素数かどうか分かるようにしておきましょう）。よって、「５９５」は「５×７×１７」と分かりました。さて、ではこれをどう使って約数を出すのでしょうか？

５９５の約数をもう一度おさらいすると、「１，５，７，１７，３５，８５，１１９，５９５」です。これらの約数は全て素因数分解「５×７×１７」の「５」「７」「１７」を使ったかけ算になっているのです。１つずつ見ていきましょう。

＜５９５の約数＞
１：「５」「７」「１７」を使わない
５：「５」を１個使う
７：「７」を１個使う
１７：「１７」を１個使う
３５：「５」と「７」を１個ずつ使う（５×７）
８５：「５」と「１７」を１個ずつ使う（５×１７）
１１９：「７」と「１７」を１個ずつ使う（７×１７）
５９５：「５」と「７」と「１７」を１個ずつ使う（５×７×１７）

「３５」であれば５でも７でも割り切れるんだから５×７でも割り切れる、「８５」であれば５でも１７でも割り切れるんだから５×１７でも割り切れるという考え方です。このように素因数分解をして、約数を出す方法があります。